Bun găsit,
Într-o distribuție normală, datele sunt distribuite simetric, fără distorsiuni. Când sunt reprezentate pe un grafic, datele urmează o formă de clopot, majoritatea valorilor grupându-se în jurul unei regiuni centrale și diminuându-se pe măsură ce se îndepărtează de centru.
Distribuțiile normale sunt numite și distribuții gaussiene sau curbe clopot din cauza formei lor.
De ce contează distribuțiile normale?
Toate tipurile de variabile din științele naturale și sociale sunt distribuite în mod normal sau aproximativ normal. Înălțimea, greutatea la naștere, capacitatea de citire, satisfacția în muncă sau scorurile SAT sunt doar câteva exemple de astfel de variabile.
Deoarece variabilele cu distribuție normală sunt atât de comune, multe teste statistice sunt concepute pentru populații cu distribuție normală.
Înțelegerea proprietăților distribuțiilor normale înseamnă că puteți utiliza statistici inferențiale pentru a compara diferite grupuri și pentru a face estimări despre populații folosind eșantioane.
Care sunt proprietățile distribuțiilor normale?
Distribuțiile normale au caracteristici cheie care sunt ușor de observat în grafice:
Media, mediana și modul sunt exact aceleași.
Distribuția este simetrică față de medie - jumătate dintre valori cad sub medie și jumătate peste medie.
Distribuția poate fi descrisă prin două valori: media și abaterea standard.
Media este parametrul de locație, în timp ce abaterea standard este parametrul de scară.
Media determină locul în care este centrat vârful curbei. Creșterea mediei mișcă curba la dreapta, în timp ce micșorarea acesteia mută curba la stânga.
Abaterea standard întinde sau stoarce curba. O abatere standard mică are ca rezultat o curbă îngustă, în timp ce o abatere standard mare duce la o curbă largă.
Regulă empirică
Regula empirică, sau regula 68-95-99.7, vă spune unde se află cele mai multe dintre valorile dvs. într-o distribuție normală:
Aproximativ 68% dintre valori sunt cu o abatere standard de la medie.
Aproximativ 95% dintre valori sunt în 2 abateri standard de la medie.
Aproximativ 99,7% dintre valori sunt în 3 abateri standard de la medie.
Exemplu: Utilizarea regulii empirice într-o distribuție normală
Colectați scoruri SAT de la studenți într-un nou curs de pregătire pentru teste. Datele urmează o distribuție normală cu un scor mediu (M) de 1150 și o abatere standard (SD) de 150.
Urmând regula empirică:
Aproximativ 68% dintre scoruri sunt cuprinse între 1.000 și 1.300, o abatere standard peste și sub medie.
Aproximativ 95% din scoruri sunt între 850 și 1.450, 2 abateri standard peste și sub medie.
Aproximativ 99,7% din scoruri sunt între 700 și 1.600, 3 abateri standard peste și sub medie.
Regula empirică este o modalitate rapidă de a obține o privire de ansamblu asupra datelor dvs. și de a verifica dacă există valori aberante sau valori extreme care nu urmează acest model.
Dacă datele de la eșantioane mici nu urmează îndeaproape acest model, atunci alte distribuții precum distribuția t pot fi mai adecvate. Odată ce ați identificat distribuția variabilei dvs., puteți aplica teste statistice adecvate.
Teorema limitei centrale
Teorema limită centrală este baza pentru modul în care funcționează distribuțiile normale în statistică.
În cercetare, pentru a vă face o idee bună despre o medie a populației, în mod ideal ați colecta date din mai multe eșantioane aleatorii din cadrul populației. O distribuție de eșantionare a mediei este distribuția mediilor acestor diferite eșantioane.
Teorema limitei centrale arată următoarele:
Legea numerelor mari: pe măsură ce creșteți dimensiunea eșantionului (sau numărul de eșantioane), atunci media eșantionului se va apropia de media populației.
Cu mai multe eșantioane mari, distribuția de eșantionare a mediei este distribuită în mod normal, chiar dacă variabila inițială nu este distribuită în mod normal.
Testele statistice parametrice presupun de obicei că eșantioanele provin din populații distribuite normal, dar teorema limită centrală înseamnă că această ipoteză nu este necesar să fie îndeplinită atunci când aveți un eșantion suficient de mare.
Puteți utiliza teste parametrice pentru eșantioane mari din populații cu orice fel de distribuție, atâta timp cât sunt îndeplinite alte ipoteze importante. O dimensiune a eșantionului de 30 sau mai mult este, în general, considerată mare.
Pentru eșantioanele mici, ipoteza normalității este importantă deoarece distribuția de eșantionare a mediei nu este cunoscută. Pentru rezultate precise, trebuie să vă asigurați că populația este distribuită în mod normal înainte de a putea utiliza teste parametrice cu eșantioane mici.
Formula curbei normale
Odată ce aveți media și abaterea standard a unei distribuții normale, puteți potrivi o curbă normală datelor dvs. folosind o funcție de densitate de probabilitate.
Într-o funcție de densitate de probabilitate, aria de sub curbă vă spune probabilitatea. Distribuția normală este o distribuție de probabilitate, astfel încât aria totală sub curbă este întotdeauna 1 sau 100%.
Formula pentru funcția normală de densitate a probabilității pare destul de complicată. Dar pentru a-l folosi, trebuie doar să cunoașteți media populației și abaterea standard.
Pentru orice valoare a lui x, puteți introduce media și abaterea standard în formulă pentru a găsi densitatea de probabilitate a variabilei care ia acea valoare a lui x.
Formula normală a densității de probabilitate
Exemplu: Utilizarea funcției de densitate de probabilitate
Vrei să știi probabilitatea ca scorurile SAT din eșantionul tău să depășească 1380.
Pe graficul funcției de densitate a probabilității, probabilitatea este zona umbrită de sub curba care se află în dreapta punctajului SAT egal cu 1380.
Care este distribuția normală standard?
Distribuția normală standard, numită și distribuție z, este o distribuție normală specială în care media este 0 și abaterea standard este 1.
Fiecare distribuție normală este o versiune a distribuției normale standard care a fost întinsă sau strânsă și mutată orizontal la dreapta sau la stânga.
În timp ce observațiile individuale din distribuțiile normale sunt denumite x, ele sunt denumite z în distribuția z. Fiecare distribuție normală poate fi convertită în distribuția normală standard prin transformarea valorilor individuale în scoruri z.
Scorurile Z vă spun câte abateri standard de la medie se află fiecare valoare.
Trebuie doar să cunoașteți media și abaterea standard a distribuției dvs. pentru a găsi scorul z al unei valori.
Convertim distribuțiile normale în distribuția normală standard din mai multe motive:
Pentru a găsi probabilitatea observațiilor într-o distribuție care se încadrează deasupra sau sub o valoare dată.
Pentru a găsi probabilitatea ca o medie a eșantionului să difere semnificativ de o medie cunoscută a populației.
Pentru a compara scorurile pe diferite distribuții cu diferite medii și abateri standard.
Găsirea probabilității folosind distribuția z
Fiecare scor z este asociat cu o probabilitate, sau o valoare p, care vă indică probabilitatea ca valori sub acel scor z să apară. Dacă convertiți o valoare individuală într-un scor z, puteți găsi probabilitatea ca toate valorile până la acea valoare să apară într-o distribuție normală.
Exemplu: Găsirea probabilității utilizând distribuția z
Pentru a găsi probabilitatea ca scorurile SAT din eșantionul dvs. să depășească 1380, mai întâi găsiți scorul z.
Media distribuției noastre este 1150, iar abaterea standard este 150. Scorul z vă spune câte abateri standard se află la 1380 față de medie.
Pentru un scor z de 1,53, valoarea p este 0,937. Aceasta este probabilitatea ca scorurile SAT să fie de 1380 sau mai puțin (93,7%) și este zona de sub curba din stânga zonei umbrite.
Pentru a găsi zona umbrită, luați 0,937 din 1, care este aria totală de sub curbă.
Probabilitatea x > 1380 = 1 – 0,937 = 0,063
Aceasta înseamnă că este probabil ca doar 6,3% din scorurile din eșantionul dvs. să depășească 1380.
Descoperă cum te pot ajuta, apăsând pe butonul albastru.
Despre Lorena
Salut,
Sunt Lorena și sunt primul coach de scriere academică din România.
Sunt doctor în economie și am finalizat și un program de postdoctorat la o universitate de renume.
Din 2021 am devenit fondatoarea Diplomade10.ro.
Am fondat această școală pentru a-i ajuta pe studenți, masteranzi și doctoranzi să scape de teama de ce vor scrie în lucrare și mai ales cum vor scrie.
Este nevoie să evoluăm în domeniul cercetării, să venim cu noi soluții pentru a face o lume mai bună.
Dacă ai orice nelămuriri, te rog să-mi scrii.