Kurtosis este o măsură a cozii unei distribuții. Tailedness este cât de des apar valorile aberante. Curtoza în exces este coada unei distribuții în raport cu o distribuție normală.
Distribuțiile cu curtoză medie (cozi medii) sunt mezokurtice.
Distribuțiile cu curtoză scăzută (cozi subțiri) sunt platikurtice.
Distribuțiile cu curtoză mare (cozi grase) sunt leptokurtice.
Cozile sunt capetele conice de ambele părți ale unei distribuții. Ele reprezintă probabilitatea sau frecvența unor valori extrem de mari sau scăzute în comparație cu medie. Cu alte cuvinte, cozile reprezintă cât de des apar valorile aberante.
Exemplu: Tipuri de curtoză
Ce este o distribuție mezokurtică?
O distribuție mezokurtică este cu coadă medie, astfel încât valorile aberante nu sunt nici foarte frecvente, nici foarte rare.
Kurtoza este măsurată în comparație cu distribuțiile normale.
Distribuțiile normale au o curtoză de 3, deci orice distribuție cu o curtoză de aproximativ 3 este mezokurtică.
Adesea, curtoza este descrisă în termeni de curtoză în exces, care este kurtoză - 3. Deoarece distribuțiile normale au o curtoză de 3, excesul de curtoză face și mai ușoară compararea curtozei unei distribuții cu o distribuție normală:
Distribuțiile normale au un exces de curtoză de 0, deci orice distribuție cu un exces de curtoză de aproximativ 0 este mezokurtică.
Exemplu de distribuție mezokurtică
În medie, un pui de elefant femelă cântărește o impresionantă 210 lbs la naștere. Să presupunem că un zoolog este interesat de distribuția greutăților la naștere a elefanților, așa că contactează grădinile zoologice și sanctuarele din întreaga lume și le cere să-și împărtășească datele. Ea colectează date despre greutatea la naștere pentru 400 de pui de elefant femele:
Din grafic, putem observa că distribuția frecvenței (indicată de barele gri) urmează aproximativ o distribuție normală (indicată de curba verde). Distribuțiile normale sunt mezokurtice.
Zoologul calculează curtoza probei. Ea găsește că kurtoza este 3,09 și excesul de curtoză este 0,09 și concluzionează că distribuția este mezokurtică.
Notă
Deși distribuția de probabilitate a unei populații poate avea o curtoză de exact 3, datele reale sunt aproape întotdeauna cel puțin ușor platikurtice sau leptokurtice. Dacă un eșantion are o curtoză de aproximativ 3, puteți presupune că este extras dintr-o populație mezokurtică.
Distribuțiile mezokurtice au valori aberante care nu sunt nici foarte frecvente, nici foarte rare, iar acest lucru este valabil pentru greutățile la naștere ale elefanților. Ocazional, se va naște o femelă de elefant cântărind mai puțin de 180 sau mai mult de 240 de livre.
Ce este o distribuție platikurtică?
O distribuție platykurtică este cu coadă subțire, ceea ce înseamnă că valorile aberante sunt rare.
Distribuțiile platikurtice au mai puțină curtoză decât o distribuție normală. Cu alte cuvinte, distribuțiile platikurtice au:
O curtoză mai mică de 3
Un exces de curtoză mai mic de 0
Platykurtosis este uneori numită curtoză negativă, deoarece excesul de curtoză este negativ.
Notă
„Platy” din „platykurtosis” provine din cuvântul grecesc platús, care înseamnă plat. Deși multe distribuții platikurtice au un vârf aplatizat, unele distribuții platikurtice au un vârf ascuțit. Statisticienii înțeleg acum că curtoza este o măsură a cozii, nu „punctul de vârf”.
Un truc pentru a vă aminti sensul „platykurtic” este să vă gândiți la un ornitorinc cu o coadă subțire.
Exemplu de distribuție platikurtică
Un sociolog studiază utilizarea rețelelor sociale de către elevii unui liceu mic. La școală sunt 400 de elevi, cu vârste cuprinse între 14 și 18 ani:
Distribuția de frecvență (indicată de barele gri) nu urmează o distribuție normală (indicată de curba verde punctată). În schimb, urmează aproximativ o distribuție uniformă (indicată de curba violet). Distribuțiile uniforme sunt platikurtice.
Sociologul calculează că kurtoza eșantionului este 1,78 și excesul de curtoză este -1,22. El ajunge la concluzia că distribuția este platikurtică.
Distribuțiile platykurtice au o frecvență scăzută a valorii aberante. Distribuțiile uniforme, precum distribuția vârstelor elevilor, sunt cazuri extreme de distribuții platikurtice, deoarece valorile aberante sunt atât de rare încât sunt complet absente. Nu există studenți mai mici de 14 ani sau mai mari de 18 ani.
Notă
În graficul de mai sus, observați că în partea stângă și dreaptă a distribuției — cozile — spațiul de sub curba de distribuție uniformă (violet) este mai subțire decât spațiul de sub curba de distribuție normală (verde). Aceasta este ceea ce se înțelege prin „cozi subțiri”.
Ce este o distribuție leptokurtică?
O distribuție leptokurtică este cu coadă groasă, ceea ce înseamnă că există o mulțime de valori aberante.
Distribuțiile leptokurtice sunt mai curtotice decât o distribuție normală. Ei au:
O curtoză mai mare de 3
Un exces de curtoză mai mare de 0
Leptokurtoza este uneori numită curtoză pozitivă, deoarece excesul de curtoză este pozitivă.
Notă
„Lepto” din „leptokurtosis” provine din cuvântul grecesc leptós, care înseamnă îngust. La fel ca platykurtosis, aceasta este o denumire greșită, deoarece definește kurtosis în termeni de „punctură de vârf” în loc de coadă.
Un truc pentru a vă aminti sensul „leptokurtic” este să vă gândiți la un cangur care sărește cu o coadă groasă.
Exemplu de distribuție leptokurtică
Imaginați-vă că patru astronomi încearcă cu toții să măsoare distanța dintre Pământ și Nu2 Draconis A, o stea albastră care face parte din constelația Draco. Fiecare dintre cei patru astronomi măsoară distanța de 100 de ori și își pun datele împreună în același set de date:
Distribuția de frecvență (indicată de barele gri) nu urmează o distribuție normală (indicată de curba verde punctată). În schimb, urmează aproximativ o distribuție Laplace (indicată de curba albastră). Distribuțiile Laplace sunt leptokurtice.
Astronomii calculează că curtoza eșantionului este de 6,54 și excesul de curtoză este de 3,54. Ei concluzionează că distribuția este leptokurtică.
Distribuțiile leptokurtice au valori aberante frecvente. Distribuția măsurătorilor astronomilor are mai multe valori aberante decât v-ați aștepta dacă distribuția ar fi normală, cu câteva observații extreme care sunt mai mici de 50 sau mai mult de 150 de ani lumină.
Notă
Dacă vă uitați cu atenție la graficul de mai sus, veți observa că în partea stângă și dreaptă a distribuției — cozile — spațiul de sub curba de distribuție Laplace (albastru) este puțin mai gros decât spațiul de sub curba de distribuție normală ( verde). Aceasta este ceea ce se înțelege prin „cozi grase”.
Cum se calculează curtoza
Matematic vorbind, curtoza este al patrulea moment standardizat al unei distribuții. Momentele sunt un set de măsurători care vă spun despre forma unei distribuții.
Momentele sunt standardizate prin împărțirea lor la abaterea standard ridicată la puterea corespunzătoare.
Kurtoza unei populații
Următoarea formulă descrie curtoza unei populații:
Curtoza unei probe
Curtoza unui eșantion este o estimare a curtozei populației.
Ar putea părea firesc să se calculeze curtoza unui eșantion ca fiind al patrulea moment al eșantionului împărțit la abaterea sa standard la a patra putere. Cu toate acestea, acest lucru duce la o estimare părtinitoare.
Formula pentru estimarea imparțială a excesului de curtoză include o corecție lungă bazată pe dimensiunea eșantionului:
Este consumator de timp pentru a calcula curtoza manual. Din acest motiv, majoritatea oamenilor folosesc software de calculator pentru a-l calcula. De exemplu, funcția KURT() din Excel calculează curtoza folosind formula de mai sus.
Descoperă cum te pot ajuta, apăsând pe butonul albastru.
Despre Lorena
Salut,
Sunt Lorena și sunt primul coach de scriere academică din România.
Sunt doctor în economie și am finalizat și un program de postdoctorat la o universitate de renume.
Din 2021 am devenit fondatoarea Diplomade10.ro.
Am fondat această școală pentru a-i ajuta pe studenți, masteranzi și doctoranzi să scape de teama de ce vor scrie în lucrare și mai ales cum vor scrie.
Este nevoie să evoluăm în domeniul cercetării, să venim cu noi soluții pentru a face o lume mai bună.
Dacă ai orice nelămuriri, te rog să-mi scrii.