Gradele de libertate, adesea reprezentate prin v sau df, reprezintă numărul de informații independente utilizate pentru a calcula o statistică. Este calculată ca imensiunea eșantionului minus numărul de restricții.
Gradele de libertate sunt în mod normal raportate între paranteze lângă statistica testului, alături de rezultatele testului statistic.
Exemplu: grade de libertate
Să presupunem că eșantionați aleatoriu 10 adulți americani și măsurați aportul zilnic de calciu. Utilizați un test t cu un eșantion pentru a determina dacă aportul mediu zilnic al adulților americani este egal cu cantitatea recomandată de 1000 mg.
Statistica testului, t, are 9 grade de libertate:
df = n − 1
df = 10 − 1
df = 9
Calculați o valoare t de 1,41 pentru eșantion, care corespunde unei valori p de .19. Raportați rezultatele dvs.:
„Aportul mediu zilnic de calciu al participanților nu a diferit de cantitatea recomandată de 1000 mg, t(9) = 1,41, p = 0,19.”
Ce sunt gradele de libertate?
În statistica inferențială, estimăți un parametru al unei populații calculând o statistică a unui eșantion. Numărul de informații independente utilizate pentru a calcula statistica se numește grade de libertate. Gradele de libertate ale unei statistici depind de dimensiunea eșantionului:
Când dimensiunea eșantionului este mică, există doar câteva informații independente și, prin urmare, doar câteva grade de libertate.
Când dimensiunea eșantionului este mare, există multe informații independente și, prin urmare, multe grade de libertate.
Notă
Deși gradele de libertate sunt strâns legate de dimensiunea eșantionului, ele nu sunt același lucru. Există întotdeauna mai puține grade de libertate decât dimensiunea eșantionului.
Când estimați un parametru, trebuie să introduceți restricții în ceea ce privește modul în care valorile sunt legate între ele. Ca urmare, informațiile nu sunt toate independente. Cu alte cuvinte, valorile din eșantion nu sunt toate libere să varieze.
Următoarea analogie și exemplu vă arată ce înseamnă ca o valoare să fie liberă să varieze și cum este afectată de restricții.
Liber să varieze: analogie cu desertul
Exemplu: analogie cu desertul
Imaginați-vă că colegul de cameră are un dinte de dulce, așa că este încântată să descopere că cantina de la facultate oferă șapte opțiuni de desert. Într-o săptămână, ea decide că vrea să aibă un desert diferit în fiecare zi.
Decizând să consume un desert diferit în fiecare zi, colega ta de cameră impune o restricție asupra alegerilor ei despre desert.
Luni, ea poate alege oricare dintre cele șapte deserturi. Marți, ea poate alege oricare dintre cele șase variante de desert rămase. Miercuri, ea poate alege oricare dintre cele cinci opțiuni rămase și așa mai departe.
Până duminică, a avut toate opțiunile de desert, cu excepția unuia. Ea nu are de ales duminică, deoarece mai rămâne o singură opțiune.
Din cauza restricției ei, colega ta de cameră și-a putut alege desertul doar în șase din cele șapte zile. Alegerea ei de desert a fost liberă să varieze în aceste șase zile. În schimb, alegerea ei de desert în ultima zi nu a fost liberă să varieze; depindea de alegerile ei de desert din ultimele șase zile.
Liber să varieze: exemplu de sumă
Exemplu: Sumă
Să presupunem că vă cer să alegeți cinci numere întregi care însumează 100.
Cerința de însumare la 100 este o restricție asupra opțiunilor de numere.
Pentru primul număr, puteți alege orice număr întreg doriți. Indiferent de alegerea ta, suma celor cinci numere poate fi în continuare 100. Acest lucru este valabil și pentru al doilea, al treilea și al patrulea număr.
Nu aveți de ales pentru numărul final; are o singură valoare posibilă și nu este liber să varieze. De exemplu, imaginați-vă că ați ales 15, 27, 42 și 3 ca primele patru numere. Pentru ca numerele să se însumeze la 100, numărul final trebuie să fie 13.
Din cauza restricției, puteți alege doar patru dintre cele cinci numere. Primele patru numere erau libere să varieze. În schimb, al cincilea număr nu era liber să varieze; depindea de celelalte patru numere.
Gradele de libertate și testarea ipotezelor
Gradele de libertate ale unei statistici de test determină valoarea critică a testului de ipoteză. Valoarea critică este calculată din distribuția nulă și este o valoare limită pentru a decide dacă se respinge ipoteza nulă.
Gradele de libertate afectează valoarea critică prin modificarea formei distribuției nule. Distribuțiile nule ale lui Student t, chi-pătrat și alte statistici de testare se modifică odată cu gradele de libertate, dar fiecare se schimbă în moduri diferite.
Distribuția t a elevului
Pentru a efectua un test t, calculați t pentru eșantion și îl comparați cu o valoare critică. Pentru a găsi valoarea critică potrivită, trebuie să utilizați distribuția t a Studentului cu gradele de libertate adecvate.
Distribuția nulă a t-ului lui Student se modifică odată cu gradele de libertate:
Când df = 1, distribuția este puternic leptokurtică, adică probabilitatea unor valori extreme este mai mare decât într-o distribuție normală.
Pe măsură ce df crește, distribuția devine mai îngustă și mai puțin leptokurtică. Devine crescător similar cu o distribuție normală standard
Când df ≥ 30, distribuția t a lui Student este aproape aceeași cu o distribuție normală standard. Dacă aveți o dimensiune a eșantionului mai mare de 30, puteți utiliza distribuția normală standard (cunoscută și sub numele de distribuție z) în loc de distribuția t a lui Student.
Această schimbare a formei distribuției are sens intuitiv. Distribuția t are o răspândire mai mică pe măsură ce crește numărul de grade de libertate deoarece crește certitudinea estimării. Imaginați-vă că eșantionați în mod repetat populația și calculați t-ul lui Student; cu cât dimensiunea eșantionului este mai mare, cu atât statistica testului va varia mai puțin între eșantioane.
Exemplu: grade de libertate și testarea ipotezelor
Să presupunem că doriți să utilizați un test t cu un eșantion pentru a testa ipoteza nulă conform căreia aportul mediu zilnic de calciu al adulților americani este egal cu cantitatea recomandată de 1000 mg.
Luați o probă aleatorie de 10 adulți și măsurați aportul zilnic de calciu.
Testul t pentru un eșantion determină când o medie a populației este diferită de o anumită valoare. Cu toate acestea, nu cunoașteți media populației, așa că mai întâi trebuie să o estimați folosind media eșantionului. Calculați că media eșantionului este de 820 mg.
Presupunând că media populației are o anumită valoare, impuneți o restricție eșantionului: valorile din eșantion trebuie să aibă o medie de 820 mg. În consecință, valoarea finală nu este liberă să varieze; are o singură valoare posibilă.
De exemplu, imaginați-vă că nouă dintre cele zece persoane din eșantion au un aport zilnic de calciu de 410, 1230, 870, 1110, 570, 390, 1030, 1080 și 630 mg. A zecea persoană trebuie să aibă un aport zilnic de calciu de 880 mg pentru ca proba să aibă o medie de 820 mg.
Din cauza restricției, doar nouă valori din eșantion pot varia liber. Statistica de test, t, are nouă grade de libertate.
Pentru a găsi valoarea critică, trebuie să utilizați distribuția t pentru nouă grade de libertate. Dacă t al eșantionului este mai mare decât valoarea critică, atunci respingeți ipoteza nulă.
Distribuția chi-pătrat
Pentru a efectua un test chi-pătrat, comparați chi-pătratul unui eșantion cu o valoare critică. Pentru a găsi valoarea critică corectă, trebuie să utilizați distribuția chi-pătrat cu gradele de libertate corespunzătoare.
Distribuția nulă a chi-pătratului se modifică odată cu gradele de libertate, dar într-un mod diferit de distribuția t a lui Student:
Când df < 3, distribuția probabilității are forma unui „J” invers.
Când df ≥ 3, distribuția de probabilitate este în formă de cocoașă, cu vârful cocoașului situat la Χ2 = df − 2. Cocoașa este oblică la dreapta, ceea ce înseamnă că distribuția este mai lungă pe partea dreaptă a vârfului său.
Când df > 90, distribuția chi-pătrat este aproximată printr-o distribuție normală.
Cum se calculează gradele de libertate
Gradele de libertate ale unei statistici sunt mărimea eșantionului minus numărul de restricții. De cele mai multe ori, restricțiile sunt parametri care sunt estimați ca pași intermediari în calcularea statisticii.
n - r
Unde:
n este dimensiunea eșantionului
r este numărul de restricții, de obicei același cu numărul de parametri estimați
Gradele de libertate nu pot fi negative. Ca urmare, numărul de parametri pe care îi estimați nu poate fi mai mare decât dimensiunea eșantionului.
Formule specifice testului
Poate fi dificil să-ți dai seama de numărul de restricții. Este adesea mai ușor să utilizați formule specifice testului pentru a afla gradele de libertate ale unei statistici de test.
Cum se calculează gradele de libertate
Gradele de libertate ale unei statistici sunt mărimea eșantionului minus numărul de restricții. De cele mai multe ori, restricțiile sunt parametri care sunt estimați ca pași intermediari în calcularea statisticii.
Gradele de libertate nu pot fi negative. Ca urmare, numărul de parametri pe care îi estimați nu poate fi mai mare decât dimensiunea eșantionului.
Formule specifice testului
Poate fi dificil să-ți dai seama de numărul de restricții. Este adesea mai ușor să utilizați formule specifice testului pentru a afla gradele de libertate ale unei statistici de test.
Descoperă cum te pot ajuta, apăsând pe butonul albastru.
Despre Lorena
Salut,
Sunt Lorena și sunt primul coach de scriere academică din România.
Sunt doctor în economie și am finalizat și un program de postdoctorat la o universitate de renume.
Din 2021 am devenit fondatoarea Diplomade10.ro.
Am fondat această școală pentru a-i ajuta pe studenți, masteranzi și doctoranzi să scape de teama de ce vor scrie în lucrare și mai ales cum vor scrie.
Este nevoie să evoluăm în domeniul cercetării, să venim cu noi soluții pentru a face o lume mai bună.
Dacă ai orice nelămuriri, te rog să-mi scrii.
